解三元三次聯立方程式 | 三元三次方程式
一個學生問的問題,也是雙週一題96學年度第一學期第三題。引用:想請問一題: x+xy+xyz=12.................(1) y+yz+yzx=5...................(2) z+zx+zxy=6...................(3) 求解。(1)左右同乘z,然後左右同加z(2)左右同乘x,然後左右同加x(3)左右同乘y,然後左右同加y可得[z+zx+zxy+xyz2=13z] [x+xy+xyz+yzx2=6x] [y+yz+yzx+zxy2=7y]亦即[(z+zx+zxy)+xyz2=13z] [(x+xy+xyz)+yzx2=6x] [(y+yz+yzx)+zxy2=7y]亦即[6+xyz2=13z] [12+yzx2=6x] [5+zxy2=7y]亦即[6=z(13-xyz).................
一個學生問的問題,也是雙週一題96學年度第一學期第三題。引用:想請問一題: x+xy+xyz=12 .................(1) y+yz+yzx=5 ...................(2) z+zx+zxy=6 ...................(3) 求解。(1) 左右同乘 z ,然後左右同加 z (2) 左右同乘 x ,然後左右同加 x (3) 左右同乘 y ,然後左右同加 y可得
[z+zx+zxy+xyz2=13z] [x+xy+xyz+yzx2=6x] [y+yz+yzx+zxy2=7y]
亦即
[(z+zx+zxy)+xyz2=13z] [(x+xy+xyz)+yzx2=6x] [(y+yz+yzx)+zxy2=7y]
亦即
[6+xyz2=13z] [12+yzx2=6x] [5+zxy2=7y]
亦即
[6=z(13-xyz) .................(4)] [12=x(6-xyz) ...................(5)] [5=y(7-xyz) ...................(6)]
將 (4),(5),(6) 式相乘,可得
[360 = xyz(13-xyz)(6-xyz)(7-xyz)]
令 (t= xyz) ,則
[360 = t(13-t)(6-t)(7-t) ⇒ t(t-13)(t-7)(t-6)+360=0]
[⇒ (t2-13t)(t2-13t+42)+360=0 ⇒ (t2-13t)2 + 42 (t2-13t)+360=0]
[⇒ (t2-13t-12)(t2-13t-30)=0 ⇒ (t-12)(t-1)(t-3)(t-10)=0]
所以 (t = 12, 1, 3,) 或 (10)
亦即 (xyz = 12, 1, 3,) 或 (10) ,帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 (...