最密堆积 | 六方最密堆積計算
如何在一定空間內堆疊出最多的橘子涉及最密堆積的問題。在幾何上,最密堆積(英語:SpherePacking)或球填充,是指在一定範圍內放入最多不重疊球體的方式,通常這些球的大小視為相同。堆積的範圍通常是三維歐幾里得空間,不過有時也會對超過三維的歐式空間或非歐幾何空間進行討論。常見的最密堆積問題通常是要求在一空間內放入最多的球體。此時,球體總體積占空間大小的比例稱為密度,科學家會利用演算法找出能使密度儘可能增大的方法。理論上,在三維空間內由相同球體所形成的最密堆積密度能到74%。相較之下,隨機排列(例如隨意將幾...
如何在一定空間內堆疊出最多的橘子涉及最密堆積的問題。在幾何上,最密堆積(英語:Sphere Packing)或球填充,是指在一定範圍內放入最多不重疊球體的方式,通常這些球的大小視為相同。堆積的範圍通常是三維歐幾里得空間,不過有時也會對超過三維的歐式空間或非歐幾何空間進行討論。
常見的最密堆積問題通常是要求在一空間內放入最多的球體。此時,球體總體積占空間大小的比例稱為密度,科學家會利用演算法找出能使密度儘可能增大的方法。理論上,在三維空間內由相同球體所形成的最密堆積密度能到74%。相較之下,隨機排列(例如隨意將幾顆球丟進箱子裡)的密度平均只有64%。
歐式幾何[編輯] 由相同大小之球體轉換到不規則形的氣泡。在三維歐幾里得空間中,三維的最密堆積是由若干二維密置層疊合起來的,密置層中相鄰的等徑球都相切。其中兩種常見的最密堆積方式,一種稱為面心立方(FCC),底部必須是三角形,以便盡可能堆出最小的金字塔。另一種為六方最密堆積(HCP),要堆出最小的金字塔時,底部須為六角形。面心立方是在每一層中規律性地重複三個不同的位置,成為「ABCABC……」的模式;六方最密堆積則是規律性地重複兩個不同的位置,使各層在ABAB ...序列中交替。 但是也有可能出現多層堆疊序列(ABAC,ABCBA,ABCBAC等),並且仍然生成緊密堆積結構[1]。 在所有這些布置中,每個球被12個其他球圍繞。理論上其密度最大值為:
π32≃74.048%{displaystyle {frac {pi }{3{sqrt {2}}}}simeq 74.048\%}此外,常見的堆積方式密度如下:
實驗上,面心立方是六方最密堆積隨時間逐漸演變而來,特別是同等體積的氣泡、水滴或固體顆粒自動形成的模式[1]。
高斯在1831年證明,這些填料在所有可能的點陣填料中密度最高[2]。在1611年克卜勒猜想這是在正規和不規則安排之間的最大可能密度,這被稱為克卜勒猜想。在1998年,托馬斯·黑爾斯藉由拉斯羅‧費耶斯‧托特所提出的方式,提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法的方式證明此猜想,其證明大量地使用電腦程式的運算。審稿者曾說他們對於黑爾斯證明的正確性有99%的確定性,故克卜勒猜想目前已幾乎可說是個定理了。2...