三次方程式公式解有用乎? @ isdp2008am | 一元三次方程式公式解
我們國中就學過二次方程式的解法了,比如說像下面這樣子的解法:只要你還記得二次方程式公式解,你就可以像我一樣輕鬆寫下答案。而像上面這樣的解,我們稱為「根式解」,它只使用到「加、減、乘、除與根號」來表示解x。然而,任何三次方程式呢?三次方程式也有像二次方程式那樣的公式解嗎?其實是有的,而且求出公式解的第一個步驟就是把三次方程式透過變數變換,得到一個「不具二次項」的係數的方程式。舉一個例子,其處理方法如下:上述過程的最後式子(*),就是可以套用公式來解的三次方程式,至於公式長得怎麼樣,暫且不提,有...
我們國中就學過二次方程式的解法了,比如說像下面這樣子的解法:
只要你還記得二次方程式公式解,你就可以像我一樣輕鬆寫下答案。而像上面這樣的解,我們稱為「根式解」,它只使用到「加、減、乘、除與根號」來表示解x。
然而,任何三次方程式呢?三次方程式也有像二次方程式那樣的公式解嗎?其實是有的,而且求出公式解的第一個步驟就是把三次方程式透過變數變換,得到一個 「不具二次項」的係數的方程式。
舉一個例子,其處理方法如下:
上述過程的最後式子(*),就是可以套用公式來解的三次方程式,至於公式長得怎麼樣,暫且不提,有興趣的讀者請看文末[參考文獻]。
本文的目的不在於說明如何推導三次方程式的公式解,而是想問問讀者,您本身有遇過任何數學上的應用問題,最後的結果是要解一個三次方程式呢?
當然,若要求一個體積為5 的正立方體的邊長為何,可立刻寫下解法如下:
會這麼快解出來,是因為它不需要用到公式解,直接在等式兩邊開立方即可。那請問您有遇過其它比較不一樣的三次方程式嗎?
沒關係,不論有沒有,在此筆者想要分享一個例子,其結果最後會歸結到一個三次方程式。請看下圖
題目是說有個半圓,設半圓的直徑是AD(注意一件有趣的事:一個半圓內只有一條直徑),設半徑OA = r 。此半圓內有個四邊形ABCD,且令線段AB=a, BC = b, CD = c, 則請問r之值為何? 我們先連接BO與CO,並分別作出O到AB, BC, CD的中垂線OE, OF, OD (我們用虛線來畫出這五條線,以代表是後來才劃上去的線),然後有下圖:
上圖中我們標出了三個將要用到的角,分別假設其大小為:
∠1=∠BOE=θ1, ∠2=∠COF=θ2, ∠3=∠DOG=θ3.
因為等腰三角形底邊上的高平分底邊,因此我們可以寫下:
又等腰三角形底邊上的高平分頂角,所以有
∠AOB+∠BOC+∠COD=2(θ1+θ2+θ3)= π.
但是目前我們只有上面這個有關於「角度」的條件,要如何進展呢?其實就是使用三...