三門問題(Monty Hall Problem) | 蒙提霍爾問題
三門問題,或蒙提霍爾問題是一個違反直覺的條件機率問題,本文將從不同角度切入,探討不同選擇的機率大小。問題敘述資料來源[1]影片網址[2]在2008年上映的美國電影《決勝21點》中,劇中主角班(BenCampbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(MickeyRosa)有一段精彩的對話:米奇:「假設你正參加一個遊戲節目,你有機會從三扇不同的門裡選一扇,其中一扇門後面有一輛新車,另外兩扇門後面各有一頭山羊?你要選擇哪一扇門?」班:「一號門。」米奇:「好!這時節目主持人,順便一提,他知道門後的秘密,他去打開另一扇門,比方說他開...
三門問題,或蒙提霍爾問題是一個違反直覺的條件機率問題,本文將從不同角度切入,探討不同選擇的機率大小。
問題敘述資料來源[1]影片網址[2]在 2008 年上映的美國電影《決勝21點》中,劇中主角班 (Ben Campbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的對話:
米奇:「假設你正參加一個遊戲節目,你有機會從三扇不同的門裡選一扇,其中一扇門後面有一輛新車,另外兩扇門後面各有一頭山羊?你要選擇哪一扇門?」
班: 「一號門。」
米奇:「好!這時節目主持人,順便一提,他知道門後的秘密,他去打開另一扇門,比方說他開了三號門,後面是一頭山羊。這時節目主持人說:「班,你想要堅持選擇一號門,還是換成二號門?」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否對你有利?」
班: 「是的」
米奇:「記住!主持人知道那輛車在哪裡,你怎麼知道他不是在耍你?……」
班: 「我並不介意,因為我的答案是基於統計學,……,當一開始他讓我選一扇門時,我有 33.3% 的機率是選對的,但當他開其中一扇門時,然後又讓我選時,此刻如果我選擇換一扇門,選對的機率是 66.7%,……。」
換句話說,假設你正在參加一個游戲節目,你被要求在三扇門中選擇一扇:其中一扇後面有一輛車;其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門,假設是一號門,然後知道門後面有什麼的主持人,開啟了另一扇後面有山羊的門,假設是三號門。他然後問你:「你想選擇二號門嗎?」轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎?
答案:換門贏得獎品的機率為$frac{2}{3}$,不換門為$frac{1}{3}$,因此應該選擇換門!
這個問題可以擴展成N門問題,也就是主持人在開了$N-2$道門以後,分析換門與不換門贏得汽車的機率。
條件機率:貝式定理在條件機率中,以$P(A|B)$表示在B發生的條件下A發生的機率,其值:
我們還可以畫出以下樹狀圖做分析:假設 $A$ 為得獎的情況,$A’$ 為不得獎的情況,$B$ 為換門的情況,$B’$ 為不換門的情況如果要得獎會發生以下兩種狀況:
不換門得獎:$P(A|B’)=f...