《從一到無限大》:所有物體都是四維的 三維屬於空間,一維 ... | 一維二維
文:喬治.加莫夫時間是第四維關於第四維的概念經常被認為是很神祕、很值得懷疑的。我們這些只有長度、寬度和高度的生物,怎麼竟敢奢談什麼四維空間呢?從我們三維的頭腦裡能想像出四維的情景嗎?一個四維的正方體或四維的球體該是什麼樣子呢?當我們說的是「想像」一頭鼻裡噴火、尾上披鱗的巨龍、或一架設有游泳池並在雙翼上有兩個網球場的超級客機時,實際上只不過是在頭腦裡描繪這些東西果真突然出現在我們眼前時的樣子。我們描繪這種圖像的背景,仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物體──連同我們本身在內的三維空間。如果說這就是...
文:喬治.加莫夫
時間是第四維關於第四維的概念經常被認為是很神祕、很值得懷疑的。我們這些只有長度、寬度和高度的生物,怎麼竟敢奢談什麼四維空間呢?從我們三維的頭腦裡能想像出四維的情景嗎?一個四維的正方體或四維的球體該是什麼樣子呢?
當我們說的是「想像」一頭鼻裡噴火、尾上披鱗的巨龍、或一架設有游泳池並在雙翼上有兩個網球場的超級客機時,實際上只不過是在頭腦裡描繪這些東西果真突然出現在我們眼前時的樣子。我們描繪這種圖像的背景,仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物體──連同我們本身在內的三維空間。
如果說這就是「想像」這個詞的含義,那我們就想像不了出現在三維空間背景上的四維物體是什麼樣子了,正如同我們不可能將一個三維物體壓進一個平面那樣。
不過且慢,我們確實可以在平面上畫出三維物體來,因而在某種意義上可說是將一個三維物體壓進了平面。然而,這種壓法可不是用水壓機或諸如此類的物理力來實現,而是用「幾何投影」的方法進行的。這兩種將物體(以馬為例)壓進平面的方法的差別,可以從圖24上看出來。
用類比的方法,現在我們可以說,儘管不能把一個四維物體完完全全「壓進」三維空間,但我們能夠討論各種四維物體在三維空間中的「投影」(projection)。不過要記住,四維物體在三維空間中的投影是立體圖形,如同三維物體在平面上的投影是二維圖形一樣。
Photo Credit: 經濟新潮社 圖24 把一個三維物體「壓」進二維平面的兩種方法。左圖是錯誤的,右圖是正確的為了更理解這個問題,讓我們先考慮一下,生活在平面上的二維扁片人是如何領悟三維立方體的概念的。不難想像,作為三維空間的生物,我們有一個優越之處,即可以從二維空間的上方、即第三個方向來觀察平面上的世界。
將立方體「壓」進平面的唯一方法,是用圖25所示的方法將它「投影」到平面上。旋轉這個立方體,可以得到各式各樣的投影。觀察這些投影,我們那些二維的扁片朋友就多少能對這個叫做「三維立方體」的神祕圖形的性質有一點概念。他們不能「跳出」他們那個面像我們這樣看這個立方體。
不過僅僅是觀看投影,他們也能說出這個東西有八個頂點、十二條邊等等。現在請看圖26,你將發現,你和那些...