泰勒公式 | 二次泰勒展開式
指數函數y=ex{displaystyley=e{x}}(紅色實線)與在原點展開的泰勒多項式前四項(綠色虛線)。在這個函數中,泰勒多項式展開的項數越多,曲線擬合的越好。在數學中,泰勒公式(英語:TaylorsFormula)是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理(Taylorstheorem),泰勒定理描述了一個可微函數,如果函數足夠光滑的話,在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值,這個多項式稱為泰勒多項式(Taylorpolynomial)。...
指數函數y=ex{displaystyle y=e{x}}(紅色實線)與在原點展開的泰勒多項式前四項(綠色虛線)。在這個函數中,泰勒多項式展開的項數越多,曲線擬合的越好。在數學中,泰勒公式(英語:Taylors Formula)是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理(Taylors theorem),泰勒定理描述了一個可微函數,如果函數足夠光滑的話,在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值,這個多項式稱為泰勒多項式(Taylor polynomial)。泰勒公式還給出了餘項即這個多項式和實際的函數值之間的偏差。泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式,儘管1671年詹姆斯·格雷高里已經發現了它的特例[1]。拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。
泰勒公式[編輯]泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數在某點周圍的情況。比如說,指數函數ex{displaystyle e{x}}在x=0{displaystyle x=0}的附近可以用以下多項式來近似地表示:
ex≈1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!.{displaystyle { extrm {e}}{x}approx 1+x+{frac {x{2}}{2!}}+{frac {x{3}}{3!}}+cdots +{frac {x{n}}{n!}}.}稱為指數函數在0處的n{displaystyle n}階泰勒展開公式。這個公式只對0{displaystyle 0}附近的x{displaystyle x}有用,x{displaystyle x}離0{displaystyle 0}越遠,這個公式就越不準確。實際函數值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。
Rn(x)=ex−(1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!).{displaystyle R_{n}(x)={ extrm {e}}{x}-left(1+x+{frac {x{2}}{2!}}+{frac {x{3}}{3!}}+cdots +{frac {x{n}}{n!}} igh...