你真的知道貝氏定理怎麼算嗎? | 貝氏定理怎麼算
對於許多上過統計課的學生而言,貝氏定理(BayesTheorem)是又熟悉又陌生的。熟悉,是因為絕大多數的大學或研究所統計課堂都有教貝式定理;陌生,則是因為許多學生上完統計課之後,對於貝式定理仍然一知半解,甚至視為畏途。造成此現象的原因有二:首先,一般基本統計學教科書雖然會提到貝氏定理,但絕大多數的教科書仍然只涵蓋以P值檢定為基礎的傳統「次數統計推論」(frequentiststatisticalinference)。學生即使學了貝氏定理,也只把它當作一個數學公式,不知道它對學習統計學有什麼幫助,更不知道它具備生活實用性。其...
對於許多上過統計課的學生而言,貝氏定理(Bayes Theorem)是又熟悉又陌生的。熟悉,是因為絕大多數的大學或研究所統計課堂都有教貝式定理;陌生,則是因為許多學生上完統計課之後,對於貝式定理仍然一知半解,甚至視為畏途。造成此現象的原因有二:首先,一般基本統計學教科書雖然會提到貝氏定理,但絕大多數的教科書仍然只涵蓋以P值檢定為基礎的傳統「次數統計推論」(frequentist statistical inference)。學生即使學了貝氏定理,也只把它當作一個數學公式,不知道它對學習統計學有什麼幫助,更不知道它具備生活實用性。其次,貝式定理的數學表示式難以背誦;即使一時背了,也容易忘記。以下是教科書上常見的貝式定理定義: 假定事件A和事件B發生的機率分別是 Pr(A) 和 Pr(B),則在事件B已經發生的前提之下,事件A發生的機率是
(其中「 」在邏輯上為「非」的符號:「 A」即「非A」)如果沒有充分理解機率運算的定義和法則,實在難以理解此公式背後的邏輯。許多學生因此強記上述公式以準備考試,只求能解題而不求理解;公式反而成為學習貝式定理的主要障礙。
本文的主要目的是要破除許多學生對於貝式定理「困難又不實用」的刻板印象。事實上,我們生活之中有許多情況必須要運用貝式定理的邏輯思考,否則便容易產生偏差甚至陷於謬誤。
舉例來說,每逢有人因車禍不幸橫死,當記者報導死者是孝子,我們常唏噓說為何橫死的都是好人?這樣的想法,其實犯了諾貝爾經濟學獎得主、心理學家 Daniel Kahneman 所說的「基率謬誤」(base rate fallacy)。簡單來說, 就是沒有把「絕大多數人都是好人」這個「基率」—貝氏定理所謂的先驗機率(prior probability)—納入考量所致。因為絕大多數人都是好人,即使老天爺真的大致上賞善罰惡,橫死的人也會大多是好人,更不用說車禍應該跟善惡無關了。比如我們假設每100人中只有1人(1%)是十惡不赦的「壞人」,其餘99人(99%)都是「好人」。再假設90%的壞人果然都遭車禍橫死,而只有10%的好人意外橫死。這樣老天算是有眼了,可是如果今天有人意外橫死,請問...