換?還是不換? | 蒙提霍爾問題四門
美國NBC電視台有個由蒙提‧霍爾(MontyHall)所主持的節目叫做《一起做個買賣》(Letsmakeadeal)。在節目中,主持人讓來賓上台猜獎,獎品是一輛汽車。台上有三個門,汽車藏在其中一個門後。來賓隨便選一個門,選好之後,主持人暫不開門。由於三個門中,只有一個門的後面有汽車,其餘兩個門的後面是山羊,所以主持人就在來賓沒有選到的兩個門中,選一個有山羊的門打開。比方說,來賓選一號門,汽車也許在一號門之後,也許在二號或三號門之後;不管汽車在幾號門,主持人總是可以在二號門和三號門中選一個有山羊的門打開。打開...
美國NBC電視台有個由蒙提‧霍爾(Monty Hall)所主持的節目叫做《一起做個買賣》(Lets make a deal)。在節目中,主持人讓來賓上台猜獎,獎品是一輛汽車。台上有三個門,汽車藏在其中一個門後。來賓隨便選一個門,選好之後,主持人暫不開門。由於三個門中,只有一個門的後面有汽車,其餘兩個門的後面是山羊,所以主持人就在來賓沒有選到的兩個門中,選一個有山羊的門打開。比方說,來賓選一號門,汽車也許在一號門之後,也許在二號或三號門之後;不管汽車在幾號門,主持人總是可以在二號門和三號門中選一個有山羊的門打開。打開之後,主持人就問來賓:「您要改變您的選擇嗎?」來賓可以堅持原來的選擇,也可以改選另一個門。以剛才的情形來說,來賓先選了一號門,一號門暫不打開;接著主持人打開了三號門(三號門後面是一隻山羊),此時,來賓有機會改選二號門,或是堅持原來所選擇的一號門。假如你是那位來賓,請問你要換?還是不要換?換與不換到底有什麼差別?
【解答】:
因為有三個門,所以每一個門後有汽車的機率皆為1/3。在此情境中,主持人事先就已經知道哪個門的後面有汽車,我們由下圖可知,二隻山羊和一輛汽車的排法共有三種,即情節1、2、3等三種情形,故每種情節發生的機率為1/3。假設來賓選定的是一號門的話,則有1/3的機率得到汽車,2/3的機率得到山羊。當情節1發生時,知道內情的主持人任意從2、3號門擇一打開,所以情節1分為1a、1b情況;不論其打開哪一個門,門後皆是山羊,此時若來賓要求換門,則得到的是山羊,因此情節1發生的機率為1/3。但是當情節2、3發生時,知道內情的主持人選擇打開沒有汽車的那一個門,後面一定是隻可愛的山羊,此時若來賓要求換門,便得到汽車,因此情節2、3發生的機率為 。
所以,如果主持人事先知道汽車在哪一個門後,則此時維持不換門可以得到汽車的機率為1/3,而換門可以得到汽車的機率為2/3。換句話說,只要一開始選到沒獎品的門,換門就一定會中獎;相反地,一開始就選到有獎品的門,那麼換門就銘謝惠顧了。因此,換門才是較好的抉擇。
其...