高中阶段,如何巧解一元三次方程? | 三次方程式展開
首先,高中阶段的三次方程大概率是有一个有理根的,否则基本可以判定是竞赛内容。摘要:0.存在有理根的有理系数三次方程;1.三次方程的一般解;2.一点历史-两次数学battle0.存在有理根的有理系数三次方程有理系数三次方程通过乘上一个整数可以变成整系数三次方程,假设如下形式:令首系数a的所有因子为,同样的常数项d的所有因子为.如此,所有可能的有理根必然为下面的这些数之一:于是,将上述有理数逐一代入方程中,验证是否为0。倘若无一为0,则该方程无有理根。倘若找到一个为零,则此有理数,不妨设为即为方程之根。再用多项式除...
首先,高中阶段的三次方程大概率是有一个有理根的,否则基本可以判定是竞赛内容。摘要:0. 存在有理根的有理系数三次方程;1. 三次方程的一般解; 2. 一点历史-两次数学battle
0. 存在有理根的有理系数三次方程有理系数三次方程通过乘上一个整数可以变成整系数三次方程,假设如下形式:
令首系数a的所有因子为 ,
同样的常数项d的所有因子为 .
如此,所有可能的有理根必然为下面的这些数之一:
于是,将上述有理数逐一代入方程中,验证是否为0。
倘若无一为0,则该方程无有理根。
倘若找到一个为零,则此有理数,不妨设为 即为方程之根。
再用多项式除法,即可将三次多项式拆成一次和二次多项式的乘积
而对于二次方程我们可以用求根公式完全解答。
比如题主的这个例子:利用上述方法,可能的有理式根为:代入 即得一个根。下略。不存在有理根的三次方程才是硬核内容。
其实这有点尴尬,因为就内容本身它无法成为高阶数学(大学数学)的内容。
因为它包含的内容没有太多的数学新思想和内涵。
如果非要说,我们能从解一个一般的三次方程中能学到什么东西的话。
我能勉强给出两点:
1).对高中生来说
a. 可以掌握解三次方程的配方技巧的本质其实是化归思想。
其实所谓配方,有不少中学生理解起来有点缥缈,就是有点虚。
因为配方的中文含义本身就是有点虚。
在我看来,配方的真正内核应该是化归思想。
何谓化归,简单来说就是将未知问题转化为已知问题。
这不只是在数学上,在任何其它学科以及在生活中都有广泛应用。
回顾我们的二次方程:
就是通过配方将问题转为一个简单二次方程和一个一般一次方程:
即我们的:
这就是我们要凑出一个完全平方的目的,因为这样可以将问题转化为已知的问题。
其实在三次方程的求解过程中,就是通过将问题转化为
一个简单三次方程和一个一般二次方程:
b. 关于尼科洛跟卡尔达诺师徒...