只有一個實根的多項式@ isdp2008am | 只有一個實根
筆者曾經遇過一個題目,是要證明下列多項式只有一個實根所謂多項式f(x)的根,指的是一個特殊的數,f(x)有一根k(也可說:有一根x=k),則表示f(k)=0,其中k可以為實數或複數。而f(x)有實根k,則表示k為實數,且滿足f(k)=0。我們知道,常數多項式f(x)=c的實根,分成兩類:(1)c=0時,有無限多個根。因為不論實數k為何,f(k)=c均為0;(2)c≠0時,沒有實根。因為不論實數k為何,f(k)=c均不為0。再來,一次多項式f(x)=ax+b(a不等於0)的根,顯然有f(-b/a)=0,因此有一根x=-b/a。先假設a>0,此時,當x>-b/a時,ax>-b,因此ax+b>0;當x<-b/...
筆者曾經遇過一個題目,是要證明下列多項式只有一個實根
所謂多項式f(x)的根,指的是一個特殊的數,f(x)有一根k(也可說:有一根x=k),則表示f(k)=0,其中k可以為實數或複數。而f(x)有實根k,則表示k為實數,且滿足f(k)=0。
我們知道,常數多項式f(x)=c的實根,分成兩類: (1)c=0時,有無限多個根。因為不論實數k為何,f(k)=c均為0; (2)c≠0時,沒有實根。因為不論實數k為何,f(k)=c均不為0。
再來,一次多項式f(x)=ax+b(a不等於0)的根,顯然有f(-b/a)=0,因此有一根x=-b/a。先假設a>0,此時,當x>-b/a時,ax>-b,因此ax+b>0;當x<-b/a時,ax<-b,因此ax+b<0。而a<0時的處理方法類似,留給讀者自行練習。因此,可知f(x)恰有一實根。
而國中時期,對於實係數二次多項式f(x)=ax2+bx+c,我們學會用判別式D=b2-4ac來判斷,分別可判斷出:
(1)D=0,兩實根(重根);
(2)D>0,兩相異實根;
(3)D<0,無實根。
以上三類討論的詳細情形,各位讀者不妨參考國中教科書,而若您已有高中數學以上的程度,則不妨自己練習推導看看。在學習過程中,許多人可能會對D=0的情形感到有些困惑,明明此時y=f(x)的圖形與x軸只有一個交點(-b/2a,0),卻又說有二重根,究竟[二重根]是甚麼意思?
筆者舉例如下。令f(x)=x2+2x+1,則判別式D=4-4=0,因此有兩實根x=1,1(重根)。注意此時f(x)=(x-1)2=(x-1)(x-1),它恰有一個滿足f(x)=0的解x=1,但是為了要與一次多項式g(x)=x-1的實根x=1有所區別,我們強調f(x)=(x-1)2=(x-1)(x-1)中的(x-1)出現了兩次,因此把實根x=1稱為[重根],或者更完整地稱為[二重根],表示有[兩次]的[重複]。類似地,考慮h(x)=(x-1)3,則h(x)有三個實根x=1,1,1,此實根為[三重根]。
本文一開始提到的多項式f(x),次數是101次,非常高,要怎麼證明它只有一實根呢?首先觀察f(0)=-1<0,...