圓的面積 | 圓面積
一個半徑為r的圓的面積[1]為πr2{displaystylepir{2}}。這裡的希臘字母π,和通常一樣代表圓周長和直徑的比值,即為圓周率。現代數學家可以用微積分或更高深的後繼理論實分析得到這個面積。但是,在古希臘,數學家阿基米德在《圓的測量》中使用歐幾里得幾何證明了一個圓周內部的面積等於一個以其圓周長及半徑作為兩個直角邊的直角三角形面積。周長為2πr{displaystyle2pir},直角三角形的面積為兩直角邊乘積的一半,得出圓的面積為πr2{displaystylepir{2}}。中國古代流傳之《九章算術·方田》章中的圓田術對圓面積計算的敘述為「半周半徑相...
一個半徑為 r 的圓的面積[1]為πr2{displaystyle pi r{2}}。這裡的希臘字母π,和通常一樣代表圓周長和直徑的比值,即為圓周率。
現代數學家可以用微積分或更高深的後繼理論實分析得到這個面積。但是,在古希臘,數學家阿基米德在《圓的測量》中使用歐幾里得幾何證明了一個圓周內部的面積等於一個以其圓周長及半徑作為兩個直角邊的直角三角形面積。周長為2πr{displaystyle 2pi r},直角三角形的面積為兩直角邊乘積的一半,得出圓的面積為πr2{displaystyle pi r{2}}。中國古代流傳之《九章算術·方田》章中的圓田術對圓面積計算的敘述為「半周半徑相乘得積步」。魏晉時代的劉徽註解《九章算術》時,則以「窮盡」割圓術提供了相同結果的證明。
除了這上述古老和現代的方法,我們也考察一些具有歷史和實際興趣的不同方法
算術證明[編輯]按照阿基米德(Archimedes (260 BCE))的方法,比較一個圓與底為圓周長高為半徑的直角三角形。如果圓與三角形的面積不相等,那麼必為大於或小於。我們用反證法排除這兩種情形,剩下惟一可能就是等於。證明的關鍵是利用正多邊形。
不大於[編輯] 正方形和正八邊形內接於圓,顯示了面積差假設圓面積C{displaystyle C}大於三角形T=12cr{displaystyle T={frac {1}{2}}cr}。記E{displaystyle E}為超過的部分。取一正方形內接於圓周,所有四個角在圓周上。在正方形和圓周之間是四個小弓形。如果這四個弓形的總面積G4{displaystyle G_{4}}大於E{displaystyle E},將每條弧平分。這樣內接正方形變成了內接正八邊形,產生了的 8 個弓形,總面積G8{displaystyle G_{8}}更小。繼續分割,直到總面積差Gn{displaystyle G_{n}}小於E{displaystyle E}。現在內接正多邊形的面積Pn=C−Gn{displaystyle P_{n}=C-G_{n}},一定比三角形的面積大。
E=C−T>GnPn=C−Gn>C−EPn>T{displaystyle {egin{ali...