條件機率與貝氏定理:蒙提霍爾、史密斯先生和驗孕棒(I) – RG ... | 三道門條件機率
相信對科普有興趣的讀者對蒙提霍爾問題不陌生:美國有一個很長壽的電視節目「交易要不要(Let’sMakeaDeal)」,在1980年代由蒙提霍爾(MontyHall)所主持。該節目某環節有三道門,其中一道門後面有跑車,另外兩道門後面是山羊。參賽者只要選對跑車的門,就可以把跑車開回家。不過遊戲過程當然不是簡單的三選一。現在假設你是參賽者。你選定一道門後,蒙提霍爾從另外兩道門中選一道打開,顯示出裡面的山羊。現在剩下兩道門是關著的,蒙提霍爾問你要不要換門?你該換還是不該換?蒙提霍爾(MontyHall)網路上已經有為數不少的影片探討這...
相信對科普有興趣的讀者對蒙提霍爾問題不陌生:
美國有一個很長壽的電視節目「交易要不要(Let’s Make a Deal)」,在 1980 年代由蒙提霍爾(Monty Hall)所主持。該節目某環節有三道門,其中一道門後面有跑車,另外兩道門後面是山羊。參賽者只要選對跑車的門,就可以把跑車開回家。
不過遊戲過程當然不是簡單的三選一。現在假設你是參賽者。你選定一道門後,蒙提霍爾從另外兩道門中選一道打開,顯示出裡面的山羊。現在剩下兩道門是關著的,蒙提霍爾問你要不要換門?你該換還是不該換?
蒙提霍爾(Monty Hall)網路上已經有為數不少的影片探討這個問題,例如以下是 Youtuber 班尼張的解釋:
我們稍後再來探討蒙提霍爾的問題,以及它的數個變形。首先,我們要來了解條件機率的概念,並試著將條件機率用在「男孩女孩悖論(Boy-Girl paradox)」,也就是「史密斯先生」問題上。
條件機率在數學上,條件機率的定義如下:
稱為「A 給定 B 的機率」,也就是已知 B 事件發生的情況下,A 發生的機率。 為 A 和 B 均發生的機率, 則為 B 事件發生的機率。
現實生活的機率常常是條件機率的形式。「現在天空陰陰的,那麼半小時後下雨的機率是多少?」「父親和祖父都有遺傳疾病 X,那麼生下的女兒有遺傳疾病 X 的機率是多少?」「給定近兩週的股票指數走勢,則今日會上漲的機率為何?」。因此,了解條件機率的概念及其計算方法是很重要的。
我們用一個簡單的例子來說明條件機率的計算。如果我們擲一顆公正的六面骰,並稱「投出 1 點」的事件為 A,「投出奇數點」的事件為 B,那麼 就代表「已知投出奇數點的情況下,投出的是 1 點之機率」。直覺上來看,投出奇數點代表一定是投出 1、3、5 點,因此已知投出奇數點時,實際上投出 1 點的機率為 1/3。用公式來看,
其中用 的原因是,只要發生 A 事件(投出 1 點),B 事件(投出奇數點)就必然發生。因此 A 和 B 均發生的機率和 A 發生的...