矩陣範數 | matrix norm
矩陣範數(matrixnorm)亦譯矩陣模是數學中矩陣論、線性代數、泛函分析等領域中常見的基本概念,是將一定的矩陣空間建立為賦范向量空間時為矩陣裝備的範數。應用中常將有限維賦范向量空間之間的映射以矩陣的形式表現,這時映射空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。賦范向量空間是拓撲向量空間中的基本種類。通過賦予向量空間(線性空間)以範數,建立拓撲結構。考慮係數域K{displaystylemathbb{K}}(K{displaystylemathbb{K}}可以是實數域R{displaystylemathbb{R}}或複數域C{displaystylemathbb{C}}等)上的所有m×n{displa...
矩陣範數(matrix norm)亦譯矩陣模是數學中矩陣論、線性代數、泛函分析等領域中常見的基本概念,是將一定的矩陣空間建立為賦范向量空間時為矩陣裝備的範數。應用中常將有限維賦范向量空間之間的映射以矩陣的形式表現,這時映射空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
賦范向量空間是拓撲向量空間中的基本種類。通過賦予向量空間(線性空間)以範數,建立拓撲結構。考慮係數域K{displaystyle mathbb {K} }(K{displaystyle mathbb {K} }可以是實數域R{displaystyle mathbb {R} }或複數域C{displaystyle mathbb {C} }等)上的所有m×n{displaystyle m imes n}矩陣所構成的向量空間Mm,n(K){displaystyle {mathcal {M}}_{m,n}(mathbb {K} )}。這是一個有mn{displaystyle mn}維的K{displaystyle mathbb {K} }-向量空間。可以如同對其他的有限維K{displaystyle mathbb {K} }-向量空間一樣,為矩陣空間Mm,n(K){displaystyle {mathcal {M}}_{m,n}(mathbb {K} )}裝備範數。這樣的範數稱為Mm,n(K){displaystyle {mathcal {M}}_{m,n}(mathbb {K} )}上的一個矩陣範數。
依照範數的定義,一個從Mm,n(K){displaystyle {mathcal {M}}_{m,n}(mathbb {K} )}映射到非負實數的函數‖⋅‖{displaystyle |cdot |}滿足以下的條件:
嚴格正定性:對任意矩陣A∈Mm,n(K){displaystyle Ain {mathcal {M}}_{m,n}(mathbb {K} )},都有‖A‖≥0{displaystyle |A|geq 0},且等號成立若且唯若A=0{displaystyle A=0}; 線性性:對任意係數α∈K{displaystyle alpha in mathbb {K}...