三次方程的求根公式 | 方程式找根
本文的閱讀等級:初級公元1545年,義大利數學家卡當(GerolamoCardano,1501-1576)出版了ArsMagna,意為「偉大的技藝」,書中首度向世人公開三次方程的求根公式[1]。本文介紹卡當公式解的推導過程,並以一個階矩陣的特徵值問題為例展示計算步驟。GerolamoCardano(1501-1576)Fromhttp://www.uh.edu/engines/cardano.jpg[1]考慮一般實三次方程,其中。為簡化代數運算,先將上式通除以,運用二次方程求解過程所使用的配方法,可得[2]。令。經過變數變換原方程式可改寫為,其中。接下來的問題是如何解出這個缺乏二次項的「不完全」三次方程...
本文的閱讀等級:初級
公元1545年,義大利數學家卡當 (Gerolamo Cardano, 1501-1576) 出版了 Ars Magna,意為「偉大的技藝」,書中首度向世人公開三次方程的求根公式[1]。本文介紹卡當公式解的推導過程,並以一個 階矩陣的特徵值問題為例展示計算步驟。
考慮一般實三次方程
,
其中 。為簡化代數運算,先將上式通除以 ,運用二次方程求解過程所使用的配方法,可得[2]
。
令 。經過變數變換原方程式可改寫為
,
其中
。
接下來的問題是如何解出這個缺乏二次項的「不完全」三次方程。
考慮 的三次展開式
,
提出公因式,可得
。
我們設想上式中 即為 的一個解,故兩式係數相同,就有
。
表面上,事情變得更加複雜,但這正是卡當解法最令人激賞之處:以我們熟悉的二次方程的解替換三次方程的解。將上面兩式改寫成
,
利用根與係數的關係,可知 和 為下列二次方程的解:
。
令 和 代表此二次方程的解:
,
故得 和 。注意 和 分別可能有三個解,如下:
其中
滿足 與 ,且 。表面上, 共有 種可能,但 是實數,因此僅有...