數學歸納法 | 數學成立英文
數學歸納法(英語:MathematicalInductionMI)是一種數學證明方法,通常被用於證明某個給定命題在整個或者局部自然數範圍內成立。除了自然數以外,廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構,例如:集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域,稱作結構歸納法。雖然數學歸納法名字中有「歸納」,但是數學歸納法並非邏輯上不嚴謹的歸納推理法,它屬於完全嚴謹的演繹推理法。[1]事實上,所有數學證明都屬於演繹推理方法。最簡單和常見的數學歸納法是證明當n{displaystylen}等於任意一個自然數時某命題成立...
數學歸納法(英語:Mathematical Induction MI)是一種數學證明方法,通常被用於證明某個給定命題在整個或者局部自然數範圍內成立。除了自然數以外,廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構,例如:集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域,稱作結構歸納法。
雖然數學歸納法名字中有「歸納」,但是數學歸納法並非邏輯上不嚴謹的歸納推理法,它屬於完全嚴謹的演繹推理法。[1]事實上,所有數學證明都屬於演繹推理方法。
最簡單和常見的數學歸納法是證明當n{displaystyle n}等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步:
骨牌一個接一個倒下,就如同一個值到下一個值的過程 證明 「當n=1{displaystyle n=1}時命題成立。」(選擇數字1因其作為自然數集合中中最小值) 證明 「若假設在n=m{displaystyle n=m}時命題成立,可推導出在n=m+1{displaystyle n=m+1}時命題成立。(m{displaystyle m}代表任意自然數)」這種方法的原理在於:首先證明在某個起點值時命題成立,然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明,那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾骨牌效應也許更容易理解一些。[2][3]例如:你有一列很長的直立着的多米諾骨牌,如果你可以:
證明 「第一張骨牌會倒。」 證明 「只要任意一張骨牌倒了,其下一張骨牌也會因為前面的骨牌倒而跟著倒。」則可下結論:所有的骨牌都會倒下。
證明下面這個給定公式(命題)為真:
1+2+3+⋯+n=n(n+1)2{displaystyle 1+2+3+cdots +n={frac {n(n+1)}{2}}}
其中n{displaystyle n}為任意自然數。這是用於計算前n個自然數的和的簡單公式。證明這個公式成立的步驟如下。
證明[編輯] 第一步-起始步驟[編輯]第一步是驗證這個公式在n=1{displaystyle n=1}時成立。左邊=1{displaystyle =1},而右邊 =1(1+1)2=1{displaystyle {...